Mathematische Kompetenz zeigt sich, wenn mathematisches Wissen in konkreten Situationen angewendet wird oder im Zusammenspiel von mathematischen Inhalten und Tätigkeiten. Die formulierten Kompetenzen beziehen sich daher auf Kompetenzbereiche bzw. Inhalte (was?) und Handlungsaspekte bzw. Tätigkeiten (wie?).
Die Kompetenzbereiche und die Handlungsaspekte sind als gleichwertig zu sehen, aus der gewählten Reihenfolge ist keine Hierarchie abzuleiten. Das Lernen und Lehren von Mathematik kann sich daher nicht auf einzelne Zellen der untenstehenden Tabelle beschränken, sondern bezieht das gesamte Feld mathematischen Tuns ein, das durch Kompetenzbereiche und Handlungsaspekte aufgespannt wird.
Der Fachbereichslehrplan unterscheidet die drei Kompetenzbereiche Zahl und Variable (Arithmetik und Algebra), Form und Raum (Geometrie) sowie Grössen, Funktionen, Daten und Zufall (entspricht am ehesten dem Sachrechnen).
Zahlen ermöglichen das Bestimmen von Anzahlen und Reihenfolgen. Auf dem fundamentalen Prinzip des Stellenwertsystems gründen die Einsichten in Eigenschaften und Strukturen von Zahlen, Zahlmengen und Operationen. Damit können beliebig grosse und kleine Zahlen in der gewünschten Genauigkeit dargestellt werden.
In der Algebra werden zusätzlich zu den Zahlen Variablen verwendet, um Strukturen und Beziehungen zu verallgemeinern.
Ein Grundverständnis für Zahlen, Variablen, Operationen und Terme ist notwendig, um sich in der Welt von heute zu orientieren und diese mitzugestalten.
Zentrale Inhalte:
- Anzahlen;
- Zahlenfolgen mit natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen;
- Zehnersystem bzw. Stellenwertsystem;
- Zahlvorstellungen und -darstellungen;
- Rechengesetze und Rechenvorteile;
- Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren;
- Überschlagen, Runden;
- Beziehungen zwischen Operationen und Ergebnissen.
Punkte, Linien, Figuren und Körper bzw. deren Eigenschaften, Beziehungen und Muster sind Gegenstand des Kompetenzbereichs Form und Raum. Beispiele aus dem Alltag (z.B. in der Architektur, Kunst, Technik und Natur) können veranlassen, geometrische Objekte anzuschauen, zu deuten, zu verändern, darzustellen und in Beziehung zu setzen. Tragfähige arithmetische Zahlvorstellungen werden durch geometrische Darstellungen unterstützt. Umgekehrt lassen sich geometrische Objekte und deren Eigenschaften mit Hilfe von Zahlen, Variablen oder Termen beschreiben. Die Übergänge zwischen Form und Raum und den beiden andern Kompetenzbereichen sind fliessend.
Zentrale Inhalte:
- Orientierung im Raum;
- Eigenschaften von Figuren und Körpern;
- Skizzen, Zeichnungen und Konstruktionen;
- Operationen mit Figuren und Körpern, z.B. Drehen, Verschieben, Spiegeln;
- Flächeninhalt und Umfang von Figuren sowie Volumen und Oberflächen von Körpern;
- Geometrische Gesetzmässigkeiten und Muster;
- Modelle in der Ebene und im Raum;
- Lagebeziehungen und Koordinaten von Figuren und Körpern.
Der Kompetenzbereich Grössen, Funktionen, Daten und Zufall beschäftigt sich mit Phänomenen aus der Umwelt. Dabei geht es um quantifizierbare Aspekte, die sich mithilfe von Zahlen erforschen und beschreiben sowie mit Tabellen, Graphen, Texten oder Diagrammen darstellen lassen.
Grössen beziehen sich u.a. auf Längen, Flächeninhalte, Volumen, Gewichte bzw. Massen, Geldbeträge, Zeitpunkte und Zeitdauern. Sie werden mit Masszahlen beschrieben.
Funktionen beschreiben Beziehungen zwischen zwei Grössen (z.B. zwischen Preis und Gewicht).
Daten lassen sich mit Methoden der Statistik auswerten.
Zufall bezieht sich auf Zufallsexperimente und Kombinatorik.
Zentrale Inhalte:
- Eigenschaften von Objekten (Länge, Fläche, Volumen, Gewicht);
- Grössen bestimmen und mit ihnen rechnen;
- SI-Einheiten (z.B. Längenmasse: km, m, dm, cm, mm);
- Kombinatorik in konkreten Situationen;
- Datenerhebungen und -analysen;
- Wahrscheinlichkeiten im Alltag und in Zufallsexperimenten;
- Funktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge;
- Unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (Sprache, Tabelle, Term, Graph);
- Lineare, proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen.
Der Fachbereichslehrplan unterscheidet die drei Handlungsaspekte Operieren und Benennen, Erforschen und Argumentieren sowie Mathematisieren und Darstellen.
Beim Operieren werden Begriffe, Zahlen, Formen oder Körper in Beziehung gesetzt oder verändert und Ergebnisse festgehalten.
Das Benennen betont das Verwenden der mathematischen Fachsprache. Sie erleichtert eine klare Kommunikation und hilft, Missverständnisse zu vermeiden.
Zentrale Tätigkeiten:
- Zusammenhänge zum Rechnen nutzen;
- Grundlegende Formeln und Gesetze anwenden (z.B. beim Umformen und Auswerten von Termen);
- Ergebnisse berechnen (Kopfrechnen, mit Notieren eigener Rechenwege und schriftliche Verfahren);
- Automatisiertes Abrufen von Rechnungen (z.B. im Einspluseins und Einmaleins);
- Grössen bezeichnen, umrechnen und schätzen;
- Instrumente, Werkzeuge und Hilfsmittel sowie Messgeräte verwenden;
- Begriffe und Symbole deuten und verwenden;
- Mit Formen operieren (zerlegen, zusammenführen, verschieben, drehen, spiegeln, vergrössern, verkleinern, überlagern);
- Skizzieren, zeichnen und Grundkonstruktionen ausführen.
Beim Erforschen und Argumentieren erkunden und begründen die Lernenden mathematische Strukturen. Dabei können beispielhafte oder allgemeine Einsichten, Zusammenhänge oder Beziehungen entdeckt, beschrieben, bewiesen, erklärt oder beurteilt werden.
Zentrale Tätigkeiten:
- Sich auf Unbekanntes einlassen, ausprobieren, Beispiele suchen;
- Vermutungen und Fragen formulieren;
- Sachverhalte, Darstellungen und Aussagen untersuchen;
- Einer Frage durch Erheben und Analysieren von Daten nachgehen;
- Zahlen, Figuren, Körper oder Situationen systematisch variieren;
- Ergebnisse beschreiben, überprüfen, hinterfragen, interpretieren und begründen;
- Muster entdecken, verändern, weiterführen, erfinden und begründen;
- Mit Beispielen und Analogien argumentieren;
- Beweise führen.
Beim Mathematisieren werden Situationen und Texte in Skizzen, Operationen und Terme übertragen. Umgekehrt gilt es, Operationen, Terme und Skizzen zu konkretisieren bzw. zu veranschaulichen.
In mathematischen Kontexten bedeutet Mathematisieren, Beziehungen, Analogien oder Strukturen zu erkennen und durch Regeln, Gesetze oder Formeln zu verallgemeinern. Umgekehrt können Terme und Formeln visualisiert bzw. mit Modellen erläutert werden.
Das Darstellen von Erkenntnissen erfolgt sprachlich, bildhaft, graphisch abstrakt und formal oder auch konkret mit Gegenständen und Handlungen. Der Begriff Darstellen wird weit gefasst. Er umfasst alle Tätigkeiten, die Gedanken, Muster oder Sachverhalte nachvollziehbar, erkennbar oder verständlich machen.
Zentrale Tätigkeiten:
- Eine Situation vereinfachen und darstellen;
- Muster, Strukturen und Gesetzmässigkeiten erkennen und beschreiben;
- Handlungen, Bilder, Grafiken, Texte, Terme oder Tabellen in eine andere Darstellungsform übertragen;
- Mathematische Modelle, Lösungswege, Gedanken und Ergebnisse darstellen und interpretieren;
- Mathematische Inhalte darstellen (mündlich und schriftlich, mit Tabellen, Figuren und Körpern, Grafiken, Texten oder Situationen);
- Figurierte Zahlen (aufgrund der Legeordnung leicht bestimmbare Anzahlen) in Zahlenmuster oder Zahlenfolgen übertragen;
- Zahlenmuster und Zahlenfolgen visualisieren (z.B. durch Punkte oder Zählstriche).
Bei wenigen Kompetenzaufbauten sind keine Grundansprüche gesetzt worden. Bei diesen Aufbauten wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler im betreffenden Zyklus eine bestimmte Kompetenzstufe erreichen sollen. Sie müssen aber die Möglichkeit erhalten, an den Kompetenzstufen, die zum Auftrag des jeweiligen Zyklus gehören, zu arbeiten. Bei wenigen Kompetenzaufbauten sind keine Orientierungspunkte gesetzt worden. Dort kann auch erst nach Mitte des Zyklus mit der Arbeit an den jeweiligen Kompetenzstufen begonnen werden.
Im 3. Zyklus des Kompetenzaufbaus sind vor dem Grundanspruch einige Inhalte mit Erweiterung gekennzeichnet. Diese Inhalte müssen nicht von allen Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden. Die Erweiterungen werden allenfalls in einer Aufnahmeprüfung für eine weiterführende Schule verlangt. Aus fachlicher Logik stehen sie vor dem Grundanspruch.
